[기계공학] 유체역학 - 모세관에서 상승하는 높이 구하기

네 오늘은 모세관 현상에 대해 알아볼겁니다

 

모세관 현상이 뭔지는 설명하지 않아도... 되겠죠...?

 

그럼 바로 본론으로 들어갈게요

 

정지해있는 잔잔한 유체의 표면에 모세관을 꽃았다고 가정해요

 

하늘색으로 빗금쳐져있는 수조에 

 

가느다란 모세관을 넣었다고 가정한 그림이에요

 

어떤 형태인지 이해하셨을거라 생각하고

 

이제 식을 도출해야하니 변수를 넣을게요

나머지 부분은 관심없어요

 

모세관을 타고 올라간 유체의 높이h만큼! 

 

딱 저만큼의 유체에만 관심이 있어요

 

R은 모세관의 반지름, θ는 유체와 모세관의 접촉각이에요

 

모세관과 닿은 유체의 접선과 모세관의 각도라고 보는게 이해가 더 쉬울거에요

 

자... 이제 식을 도출해볼까요..

 

우리의 목표는 저 높이 h를 구하는거에요

 

 

자, 우선 모세관안의 유체가 일정높이만큼 올라간 상태로 정지해있어요

 

그말은 뭐다? 

 

모세관에 작용하는 유체의 힘, 여기서는 표면장력이 되겠네요

 

표면장력과 중력이 같음을 의미해요

 

F는 표면장력, W는 중력이에요

 

자 이제 상상의 나래를 펼쳐봐요

 

모세관은 원기둥형태니까

 

옆에서 봤을 때 원호모양이라면 실제는 어떤 모양일까요??

 

네 맞아요

 

렌즈처럼 오목한 형태에요

 

그걸 잘 기억하시고 다음 단계로 갈게요

 

유체표면의 한 곳에서의 표면장력을 σ라고 한다면

 

표면장력은 모세관을 따라 원의 모양으로 작용하고 있을거에요

 

쉽게말하면, 렌즈의 테두리를 따라 작용하고 있을거에요

 

그런데 지금 표면장력이 모세관과 θ의 각도를 이루고있죠?

 

그러면 표면장력의 수직성분은 어떻게 표현할 수 있을까요?

 

이렇게 표현할 수 있어요

 

이 표현이 의미하는건 표면장력이 작용하는 표면 중 어느 한 지점에서의 수직성분이에요

 

그럼 여기에 표면장력이 작용하는 범위, 즉 모세관의 둘레를 곱해주면

 

전체 표면장력의 크기가 되겠죠?

 

그래서 표면장력은

이렇게 표현할 수 있어요

 

여기까지 잘 이해하셨나요??

 

자, 처음으로 돌아갈게요

 

표면장력과 중력이 서로 힘의 평형을 이루고 있기 때문에 유체가 저 상태로 정지하고 있는거에요

 

높이h만큼의 유체의 질량을 m, 중력가속도를 g라고 하면

 

중력은

이렇게 되겠죠

 

그런데... 제가 처음에 그랬어요

 

높이h를 구할거다! 라고..

 

근데 등식어디를 봐도 h라는 변수가 보이지 않아요

 

그래서 우리는 m을 이용해 h를 끌어낼거에요!

 

혹시 기억하세요? 밀도에 관한 식을?

 

 

이거였어요

 

부피V는 여기서

가 됩니다!

 

쨘! 드디어 h가 나왔어요!

 

이제 맨 처음 표면장력과 중력에 대한 식을 정리해볼게요

이렇게 변했습니다!

 

이제 양변에 중복되는 변수들은 신나게 지우고~~

 

최종적으로 h에 대해 정리해볼게요

이해하셨나요??

 

고생하셨어요!!

 

그리고 추가적으로 팁? 을 드리자면...

 

보통 이 수식을 이용해서 시험문제가 나온다면 표면장력을 구하라는 문제가 나와요

 

당연히 문제에 높이, 밀도, 반지름 등은 주어지구요

 

외우면 확실하겠지만 그래도 이정도는 바로바로 유도할 수 있도록 숙달해놓는게 좋아요

 

 

 

공부 열심히 하세요!!