[기계공학]유체역학 - 원통형 용기 내에서의 회전(강제 와류운동)-1

간만에 포스팅하는 것 같네요.. 

 

개인적으로 이직도 하고 여러 사건들이 있어서 미처 신경쓰지 못했는데

 

여러분들이 댓글을 달아주시는 거에 힘을 얻고! 다시 해보겠습니다!

 

오늘 알려드릴 내용은 원통형 용기 내에서 회전하는 유체에요

 

이전 포스팅인 '강체 운동중인 유체 1~3'을 먼저 이해하고 오시기를 권장드립니다

https://ibeliveicanfly.tistory.com/34

[기계공학]유체역학 - 강체 운동 중인 유체1

 

그럼 시작하겠습니다!

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1. 원통형 좌표계

 

 

먼저, 조금은 생소한 좌표계를 사용할거라 설명을 드리고 진행해야 할 것 같아요

 

일반적으로 우리가 쓰는 좌표계는 가로, 세로, 높이로 위치를 표현하는 '직교좌표계'라고 합니다

 

하지만 이번 주제는 원통형이고, 유체도 원형으로 운동하기 때문에 원통형 좌표계가 좀 더 효율적이에요

 

x,y,z 대신 반지름r, 각도θ, 높이z 를 사용합니다

 

그렇다면 압력 P는 r, θ, z에 따라 결정되니

 

라고 쓸 수 있겠죠

 

단지 표현하는 문자만 바뀌었을 뿐 계산과정은 똑같으니 어렵지 않습니다!

 

그럼 시작해보죠

 

 

2. 원통형 용기 내에서의 회전

 

 

자, 여기 반지름R인 원통형 용기에

 

높이 h0만큼 유체가 들어있어요

 

편의상 물이라고 하겠습니다!

 

가운데 축을 중심으로 회전시키면 저 물은 아마도

이런 모양이 되겠죠?

 

여기서 물의 높이를 Zs라고 하고 그 최저높이를 hc라고 할게요

 

먼저, 운동방정식을 살펴보고 들어가야 할거같아요

 

원통에서 회전하는 물은 각도θ에 대해서 달라지지 않아요 회전축에 대해 모든 각도에서 대칭이니까요

 

그럼 압력은 각도에 대해 달라지지 않으니

가 되고

 

이렇게 두 변수에 대해서만 계산하면 되겠네요

 

양변에 전미분을 해주면

 

가 되겠죠

 

여기서 오메가ω는 유체가 회전하는 등각속도를 의미해요

 

말 나온김에 살펴보자면 구심가속도는

 

이고 회전운동이라 z방향으로는 아무런 운동도 없으니

 

가 됩니다

 

자, 다시 돌아가서 위에서 썼던 식

 

의 양변을 등압면에 있는 점1, 2에 대해 적분해보면

가 되겠죠

 

점1, 2는 등압면에 있으니

이고 식을 정리하면

 

여기서 Zisobar는 임의의 표면에 대한 높이를 말합니다

 

양변을 r에 대해 닫시 적분하면

 

가 되고 여기서 C는 원통 바닥부터 자유표면까지의 거리이니

 

가 될거고 그럼 최종적으로 다시쓰면...!

 

이렇게 자유표면의 높이에 대한 식을 유도할 수 있습니다!

 

근데 저 식을 잘 보세요

 

높이 Z는 반지름r에 대한 2차식으로 표현되고 있지 않나요?

 

맞아요

 

원통에서 회전하는 물은 등압면에 대해서 반지름에 대해 포물선의 형태를 띄고있습니다!

 

엄청 신기하지않나요..?

 

 

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아직 조금 더 남았긴했는데...!

 

식 유도하는거 따라오는거 힘든거 아니까

 

나머지는 이후에 또 이어서 포스팅하겠습니다

 

공부화이팅이에요!